Οι πρώτοι αριθμοί θεωρούνται, από τους μαθηματικούς της θεωρίας αριθμών, ότι είναι οι πλέον σημαντικοί αριθμοί, όπως κατ αντιστοιχία, τα υποατομικά σωματίδια για τους φυσικούς. Οι πρώτοι δηλαδή, αποτελούν τις αριθμητικές δομικές μονάδες, επειδή όλοι οι άλλοι αριθμοί, μπορούν να δημιουργηθούν, πολλαπλασιάζοντας συνδυασμούς πρώτων αριθμών.
Δύο από τα σημαντικότερα αποτελέσματα σχετικά με τους πρώτους αριθμούς, ήταν ήδη γνωστά από την αρχαιότητα.
Το γεγονός ότι κάθε ακέραιος αναλύεται με μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων, εμφανίζεται στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη, ως εξής (βιβλίο IX, πρόταση 14):
“Εάν ελάχιστος αριθμός υπό των πρώτων αριθμών μετράται, υπ’ ουδενός άλλου πρώτου αριθμού μετρηθήσεται παρέξ των εξ αρχής μετρούντων”
(δηλ. Αν ένας αριθμός μετράται (:=αναλύεται) από πρώτους, δεν μετράται, από κανέναν άλλο πρώτο, εκτός από τους αρχικούς)
Στα «Στοιχεία» επίσης, εμφανίζεται και το γεγονός ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί (βιβλίο IX, πρόταση 20):
“Οι πρώτοι αριθμοί πλείους εισί παντός του προτεθέντος πλήθους πρώτων αριθμών”
(δηλ. Οι πρώτοι αριθμοί, είναι περισσότεροι από τους πρώτους που μπορούμε να παραστήσουμε)
Το τελευταίο αυτό αποτέλεσμα και η απόδειξή του από τον Ευκλείδη, θεωρούνται ένα από τα αριστουργήματα της θεωρητικής μαθηματικής σκέψης.
Ο G. Hardy, έγραψε ότι «είναι τόσο σύγχρονο και σημαντικό όπως όταν ανακαλύφθηκε˙ εδώ και 2000 χρόνια, παρέμεινε ανέπαφο»
Μερικές από τις Ιδιότητες των Πρώτων
Οι πρώτοι αριθμοί, χαρακτηρίζονται από πλήθος ενδιαφέροντων χαρακτηριστικών. Εδώ παραθέτονται, μερικά μονάχα από αυτά:
• Όπως περιγράφεται στο μικρό θεώρημα του Fermat, αν p είναι κάποιος πρώτος και α ένας ακέραιος αριθμός, τότε p|(αp – α) (δηλαδή, ο αριθμός αp – α διαιρείται από τον p)
• Ένας ακέραιος p>1 είναι πρώτος αριθμός, αν και μόνο αν p|(( p-1)!+1) (Θεώρημα του Wilson)
• Ακόμα, όπως ο C.F. Gauss, έδειξε σε πολύ νεαρή ηλικία ότι για να είναι εφικτή η κατασκευή κανονικού πολυγώνου με κανόνα και διάβητη, θα πρέπει το πλήθος των πλευρών του, είναι πρώτος αριθμός, της μορφής 2ν +1 όπου ν=2κ (από τους οποίους γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για κ=0,1,2,3,4 και είναι αντίστοιχα οι 3,5,17,257,65537 καθώς για κάθε κ μεγαλύτερο, που έχει ελεγχθει, ο τύπος, δίνει σύνθετους αριθμούς) ή το πλήθος των πλευρών, να είναι γινόμενο πρώτων αυτής της μορφής πολλαπλασιασμένο επί μία δύναμη του 2.
• Στο θεώρημα των πρώτων, μία κομψή παρατήρηση του Fermat, διατυπώνεται μία ακόμη ενδιαφέρουσα ιδιότητα . Όλοι οι πρώτοι αριθμοί, μπορούν να ταξινομηθούν σε δύο κατηγορίες: σε αυτούς που είναι ίσοι με p=4n +1, όπου nϵN (δηλαδή οι πρώτοι που διαιρούμενοι με το 4, αφήνουν υπόλοιπο 1) και σε εκείνους που είναι ίσοι με p=4n -1 (δηλαδή οι πρώτοι που διαιρούμενοι με το 4, αφήνουν υπόλοιπο 3).Ο Fermat, λοιπόν ισχυρίστηκε ότι οι πρώτοι αριθμοί που ανήκουν στην πρώτη από τις δύο ομάδες, είναι πάντοτε άθροισμα δύο τετραγώνων (π.χ. 13=22+33 , με 13=4•3 +1), σε αντίθεση με τους πρώτους της δεύτερης ομάδας, που είναι αδύνατο να γραφούν σε τέτοια μορφή. Η απόδειξη του θεωρήματος αυτού, είναι μία από τις πολλές που ο Fermat κράτησε για τον εαυτό του. Τελικά, το 1749, ύστερα από εργασία 7 ετών και έναν αιώνα μετά από το θάνατο του Fermat, ο Euler, κατάφερε να το αποδείξει.
Αυτά είναι μερικά μονάχα ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά και ιδιότητες των πρώτων, οι οποίοι, προσφέρουν πληθώρα ενδιαφερόντων θεμάτων.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου