Μία εισαγωγή στις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες.

 Μία φιλόδοξη τολμώ να πω εισαγωγή στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες, η οποία θα συνεχιστεί, αφού θα πρέπει να πραγματευτούμε, όχι μόνο γεωμετρία αλλά λογική και άλγεβρα, αφού με χάρη στα τελευταία τέθηκαν οι βάσεις των θεωριών των μη ευκλείδειων χώρων.

Το πρώτο εγχειρίδιο Γεωμετρίας που γράφτηκε ποτέ, ήταν από τον Ευκλείδη με τον τίτλο «Στοιχεία». Σώθηκε ένα μικρό μέρος από το έργο του, το οποίο σύμφωνα με πολλούς λέγεται ότι συμπλήρωσαν και επαύξησαν μαθητές του και άλλοι μαθηματικοί της αρχαιότητας. Διαβαζόταν για πάνω από 2000 χρόνια από μαθηματικούς, αφού πέρα από διάφορες ασκήσεις και θεωρήματα (με τις αποδείξεις τους) γεωμετρίας περιείχε στοιχεία άλγεβρας καθώς και το μεγαλύτερο μέρος της μαθηματικής γνώσης, μέχρι εκείνη την εποχή. Ο τρόπος απόδειξης και η τοποθέτηση επιχειρημάτων για την επίλυση προβλημάτων και την απόδειξη θεωρημάτων, ήταν υποδειγματικός και έθεσε τις βάσεις για όλους όσους συμπλήρωσαν και επέκτειναν το έργο του.

         Τα 5 Αξιώματα του Ευκλείδη

1. Από δύο σημεία μπορούμε να φέρουμε ευθεία που να τα ενώνει
2. Μπορούμε να προεκτείνουμε ένα οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα οσοδήποτε θέλουμε.
3. Μπορούμε να σχεδιάσουμε κύκλο, με τυχαίο κέντρο και ακτίνα
4. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.
5. Αν μία ευθεία τέμνει δύο άλλες ευθείες, με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών της ίδιας πλευράς είναι μικρότερο από 180^ο, τότε αν προεκτείνουμε τις δύο ευθείες (πεπερασμένα) θα τέμνονται σε ένα σημείο που βρίσκεται στο επίπεδο που ορίζεται από τις ευθείες.  

 Το πρωτότυπο στο έργο του Ευκλείδη, ωστόσο, ήταν ότι έθεσε τις βάσεις της γεωμετρίας του, θέτοντας 5 αξιώματα (τα οποία παραθέτονται παραπάνω). Τα αξιώματα είναι προφανείς παρατηρήσεις αυταπόδεικτες, οι οποίες δε χωρούν αμφισβήτησης, αφού είναι διαισθητικά και εμπειρικά, σωστές. Με αυτόν τον τρόπο ο Ευκλείδης, δημιούργησε την αξιωματική μέθοδο, δηλαδή την απόδειξη και τη συνεπαγωγή προτάσεων και θεωρημάτων.

 Παρ’όλα αυτά, το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη αμφισβητήθηκε, αφού δεν πρόκειται για κάτι το οποίο είναι απόλυτα προφανές. Έτσι, ενώ πολλοί μαθηματικοί προσπαθούσαν να το αποδείξουν με την ‘εις άτοπον επαγωγή’, κατέληξαν σε συμπεράσματα και θεωρίες που παρόλο που δεν περιείχαν το 5ο αξίωμα, ήταν πλήρεις (δηλαδή μπορούσαν να αποδειχθούν). Το συμπέρασμα από αυτές τις θεωρίες, ήταν ότι μπορούσαν να υπάρχουν και γεωμετρίες μη Ευκλείδειες  οι οποίες δηλαδή, να μην συμπεριλαμβάνουν κάποιο από τα αξιώματα του Ευκλείδη.

Πολύ πριν από τον Einstein, ο Gauss σε μία επιστολή του σε έναν δικηγόρο,τον Taurinus,  είχε εκμυστηρευτεί, ότι θα μπορούσε να υπάρχει μία γεωμετρία, στην οποία το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη, να μην ίσχυε, πράγμα αδιανόητο για την εποχή του. Ωστόσο, εμφανίστηκαν και άλλοι, όπως ο Lobachevsky και ο Bolyai, οι οποίοι δημοσίευσαν τις ανακαλύψεις τους δίνοντας το έναυσμα, για την ανακάλυψη πολλών παραδόξων, όπως τρίγωνα με άθροισμα γωνιών άνω των 180 μοιρών ή με μικρότερο των 180 μοιρών. 

Κάνοντας δύο μικρές παρατηρήσεις σχετικά με 5ο Ευκλείδειο αξίωμα, θα πρέπει να τονιστεί ότι το αξίωμα του Ευκλείδη, είναι ισοδύναμο με το αξίωμα του  Playfair, το οποίο είναι: «Από δοθέν σημείο εκτός ευθείας(γραμμής), διέρχεται μοναδική παράλληλη ευθεία (γραμμή) ως προς την πρώτη.». Ο ίδιος ο Playfair μελέτησε την ισοδυναμία του αξιώματός του και της πρωτότυπης διατύπωσής του από τον Ευκλείδη και λόγω της απλότητάς του στην σχηματική κατανόηση, έχει επικρατήσει και στα σχολικά εγχειρίδια. Η δεύτερη παρατήρηση, είναι ότι έχει αποδειχθεί πλέον ότι το αξίωμα των παραλλήλων, είναι ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα αξιώματα της ευκλείδειας γεωμετρίας, αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα υπόλοιπα αξιώματα. Παραθέτω ένα παράδειγμα μη ευκλείδειας γεωμετρίας του Ιταλού Beltrami, στο οποίο αλλάζει ουσιαστικά τον χώρο στον οποίο θέτουμε τα σημεία μας καθώς και τον ορισμό των ευθειών στο σύστήμα μας.

Σχήμα 1

Ο Beltrami, έθεσε ως σημεία, τα εσωτερικά σημεία ενός κύκλου, χωρίς το (τοπολογικό) περίβλημά του, δηλαδή χωρίς τα σημεία της περιφέρειάς του, (π.χ. τα Α,Β,Γ) και ως ευθείες, τμήματα που έχουν τα άκρα τους σε πάνω στο περίβλημα του κύκλου(π.χ. οι μ,ξ,ζ). Αν πάρουμε ως ορισμό παραλλήλων ευθειών, ευθείες που δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, τότε, παρατηρούμε, ότι μπορούμε να φέρουμε παράλληλες ευθείες ως προς τη (ζ) από το ίδιο σημείο Σ (π.χ. οι (λ), (ξ),(μ))ενώ η ευθεία (ρ) παρόλο που φαίνεται να τέμνει την (ζ) δεν υπάρχει τομή, αφού δεν ορίζονται σημεία στην περιφέρεια του κύκλου. Καταλήγουμε λοιπόν στο γεγονός, ότι μπορούμε να φέρουμε παράλληλες ως προς μία ‘ευθεία’ του Beltrami οι οποίες ωστόσο, να διέρχονται από το ίδιο σημείο, σε αντίθεση με το αξίωμα του Playfair( που ξανατονίζω, ότι είναι ισοδύναμο του 5ου αξιώματος του Ευκλείδη). Ωστόσο, αν αντικαταστήσουμε τις ‘ευθείες’ του Beltrami με τόξα τα οποία υπάρχουν μέσα στον κύκλο, όπως στο Σχήμα 2, παρατηρούμε ότι μπορούμε να φέρουμε από δύο διαφορετικά σημεία (π.χ. Α,Β), δύο διαφορετικές, μοναδικές ευθείες, κάτι που δε γίνεται στον ευκλείδειο χώρο.

Σχήμα 2

Ως άσκηση και έχοντας αρκετή φαντασία, μπορείτε να ‘παίξετε’ με τα αξιώματα του Ευκλείδη και να φτιάξετε δικές σας γεωμετρίες, στις οποίες κάποια από αυτά να μην ισχύουν. 

Όλα αυτά ωστόσο, έδειξαν ότι οποιαδήποτε γεωμετρία είναι σχετική και κατ’επέκταση, τα σημεία και οι ευθείες που παίρνουμε, είναι αυθαίρετα, ανάλογα με τον χώρο που θέλουμε να περιγράψουμε. Για αυτό και ο Einstein, ανέφερε ότι η «θέσπιση» αξιωμάτων στη γεωμετρία, θα έχει νόημα αν και μόνο αν είμαστε σίγουροι ότι περιγράφει τον χώρο στον οποίο υπάρχουμε όπως ακριβώς είναι, αλλιώς δε θα είναι μία γλώσσα αποτύπωσης του περιβάλλοντός μας σε μαθηματικά, παρά ένα συνονθύλευμα από σκόρπιες λέξεις και νοήματα.