Μία Εισαγωγή στα Quarternions

            Η θεωρία των Quarternions αναπτύχθηκε κυρίως, από τον Ιρλανδό μαθηματικό William Rowan Hamilton, ο οποίος, είχε την αρχική ιδέα δημιουργίας τους στις 16 Οκτωβρίου 1843. Από εκείνη την ημέρα αφιέρωσε τη ζωή του στη μελέτη, στη διάδοση, και τη διδασκαλία της θεωρίας του.

            Ξεκινώντας με τις σύγχρονες εφαρμογές των Quarternions, μπορούμε να πούμε, ότι αρχικά ενώ είχαν εφαρμογές τόσο στα θεωρητικά, όσο και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, αντικαταστάθηκαν στα μέσα της δεκαετίας του 1880, από τη διανυσματική ανάλυση, η οποία είχε αναπτυχθεί από τους Josiah Willard Gibbs, Oliver Heaviside, και Hermann von Helmholtz. Η διανυσματική ανάλυση, περιγράφει τα ίδια φαινόμενα όπως και η θεωρία των Quarternions, ωστόσο χρησιμοποιούσε πιο απλά και εύκολα σύμβολα, ενώ ήταν και πιο κατανοητή.  Ένα ακόμη πρόβλημα, ήταν ότι οι εργασίες του Hamilton, ήταν δύσκολο να διαβαστούν, κυρίως εξαιτίας του τρόπου με τον οποίο έγραφε.

Ωστόσο, τα Quarternions επανήλθαν στο προσκήνιο, στα τέλη του 20ού αιώνα, κυρίως λόγω της ικανότητάς τους, να περιγράφουν περιστροφές στο χώρο, ενώ η αναπαράσταση των περιστροφών με αυτά, είναι πιο συμβατή και εύκολη, από την αναπαράστασή τους με πίνακες. Για αυτό το λόγο, έχουν εφαρμογές στη ρομποτική, όχι μόνο στους υπολογισμούς για την κίνηση, αλλά και στην κατανόηση του χώρου από τον υπολογιστή, στη φυσική, στις προσομοιώσεις σε υπολογιστές στον τριδιάστατο χώρο, στη θεωρία ελέγχου, στα γραφικά υπολογιστών, στην τροχιακή μηχανική και στον έλεγχο του υψόμετρου. Είναι κοινό πλέον στα αεροσκάφη, να έχουν εντολές σε ‘γλώσσα’ των Quarternions. Η βασική τους χρήση, είναι στη μηχανική τριών διαστάσεων.

            Γενικότερα, τα Quarternions, στα μαθηματικά, είναι ένα αριθμητικό σύστημα, το οποίο επεκτείνει αυτό των μιγαδικών αριθμών. Ο Hamilton, είχε ορίσει τα Quarternions ως τη διαίρεση μεταξύ δύο ευθειών σε έναν τριδιάστατο χώρο, ή αντίστοιχα, τη διαίρεση μεταξύ δύο διανυσμάτων. Στις πρακτικές τους εφαρμογές συνήθως παρουσιάζονται ως ζεύγος διανύσματος και  βαθμωτής πράξης, τα οποία ουσιαστικά εμπεριέχουν κάθε φορά, μία μη κανονική κατεύθυνση και προσανατολισμό γύρω από αυτήν την κατεύθυνση, αντίστοιχα. Επιπλέον, μπορούν να χρησιμοποιηθούν μαζί με άλλες μεθόδους, όπως οι γωνίες του Euler και σε εφαρμογές πινάκων, ή ακόμη μπορούν και να αντικαταστήσουν σε ορισμένες περιπτώσεις, αυτές τις μεθόδους.

Ορισμός

            Ο ορισμός των Quarternions, όπως αναφέρεται στο βιβλίο Modern Algebra 2, του Seth Warner, που είναι πιο συνοπτικός και δεν σχετίζεται με τον R⁴, είναι ο εξής:

Έστω μία δυάδα Α=(Κ, 1_Α), όπου Κ, σώμα. Μία διατεταγμένη τετράδα στοιχείων του Α, με την εξής μορφή: (1_Α, i, j, k), είναι μία βάση των Quarternions του Α, αν-ν η τετράδα αυτή, είναι διατεταγμένη βάση του Α, το 1_Α είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού και αν ισχύουν, οι παρακάτω ιδιότητες:

1)     i² = j² = k² = -1

2)     ij = k

3)     jk = i

4)     ik = -j

5)     ki = j

6)     ji = -k

7)     kj = -i

Παρατηρήσεις πάνω στον ορισμό:

1     Αν η (1_Α , i, j, k), είναι μία βάση των Quarternions, στην Α-άλγεβρα, τότε, κάθε γραμμικός συνδυασμός που ικανοποιεί, τις παραπάνω ιδιότητες, είναι επίσης βάση.

π.χ.: η (1_A, -j, k, -i) ή η βάση (1_A, 3^-1/2(i+j+k), 6^-1/2(-i+2j -k), 2^-1/2(-i+k)) 

2     Υπάρχει Α - άλγεβρα, για κάθε μεταθετικό δακτύλιο με μοναδιαίο στοιχείο, πάνω στο Κ.

3      Εφόσον υπάρχει μοναδικός μετασχηματισμός , του πολλαπλασιασμού, με (αx)y = α(xy) (δηλαδή να έχει την προσεταιριστική ιδιότητα), για κάθε α ϵΚ και x,y ϵAκαι με 1_Α: 1_Α u = u 1_A = u για κάθε u ϵA

Οπότε, ο ‘ ’, είναι μεταθετικός και ότι η (A, +, ·, ·), ( όπου ο ένας πολλαπλασιασμός, είναι ο εσωτερικός, ενώ ο άλλος, είναι ο βαθμωτός) είναι μία άλγεβρα Quarternions πάνω στο Κ.

Ένα τελευταίο σημαντικό αποτέλεσμα που θα σας δώσουμε και μπορείτε εύκολα να αποδείξετε και μόνοι σας, είναι ότι αν ο Κ είναι μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, 1_Κ, τότε υπάρχει μία 1-1 (μέσω ενός ισομορφισμού) άλγεβρα των Quarternion πάνω στο Κ.

Πέρα από αυτά, όσον αφορά τα Quarternions, ως αλγεβρικές δομές, δημιουργούν έναν νορμικό χώρο με διαίρεση, που είναι ισόμορφος με τον R⁴, πάνω στους πραγματικούς, ενώ, είναι ακεραία περιοχή. Στα Quarternions δεν ισχύει η αντιμεταθετικότητα και στην πραγματικότητα, είναι ο πρώτος χώρος με διαίρεση,  που ανακαλύφθηκε για τον οποίο, ισχύει κάτι τέτοιο. Η άλγεβρα των Quarternions συνήθως συμβολίζεται με H (προς τιμήν του Hamilton) και εν τέλει, είναι σημαντική αφού, είναι ο δεύτερος δακτύλιος ο οποίος έχει κανονικό υποδακτύλιο, τον R. Ο πρώτος που έχει ανακαλυφθεί, είναι αυτός των μιγαδικών αριθμών. Τέλος, θα ήταν παράλειψη, να μην αναφέρουμε ότι η ομοιότητα, μεταξύ των Quarternions και των τετραγωνικών μορφών, έδωσε μία ακόμη ώθηση στην περαιτέρω μελέτη τους.