Συνεχίζοντας από παλαιότερο άρθρο, για τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες, είχα βάλει ως άσκηση, την δημιουργία νέων γεωμετριών, με την διαφοροποίηση, των αξιωμάτων της ευκλείδειας γεωμετρίας. Παρόλα αυτά θα παρατηρούσε κάποιος ότι υπήρχε περίπτωση, κάποια από τα αποτελέσματα που έβγαζε εξαιτίας των αλλαγών στα αξιώματα, να μην μπορούσαν να αποδειχθούν ή να αντικρούονταν μεταξύ τους. Τα δύο αυτά φαινόμενα, παρατηρούνται σε αξιωματικά συστήματα και έχουν σχέση, κατ’αντιστοιχία, με την πληρότητα και τη συνέπεια του συστήματός μας.
Στις 8 Σεπτεμβρίου του 1930, ο David Hilbert, απευθυνόμενος στη γερμανική εταιρία Επιστημόνων και φυσικών, στο Königsberg (Κενισμπεργκ) είχε αναφέρει: «Δεν πρέπει να πιστεύουμε εκείνους, οι οποίοι σήμερα, με φιλοσοφικό τρόπο και συμβουλευτικό τόνο, προφητεύουν την πτώση της κουλτούρας μας και αποδέχονται το ignorabimus. Για εμάς (τους μαθηματικούς), δεν υπάρχει το ignorabimus και πιστεύω ότι δεν υπάρχει, σε καμία φυσική επιστήμη. Σε αντιδιαστολή με το ανόητο ignorabimus, το σύνθημά μας, πρέπει να είναι το: “Wir müssen wissen — wir werden wissen!” (δηλ: Πρέπει να ξέρουμε – θα μάθουμε!)». Λέγοντας αυτήν την έκφραση, ο Hilbert, εννοούσε ότι για κάθε μαθηματική αλήθεια, μπορεί να υπάρχει και μία απόδειξη, μία απάντηση, για το αν είναι αληθής ή όχι. Ο Hilbert πίστευε ότι κάθε μαθηματική θεωρία δηλαδή, μπορεί να αποδείξει ή να απορρίψει, οποιαδήποτε πρόταση και αν δημιουργούσαμε στο σύστημά της. Παρόλα αυτά, μία μέρα πριν πει ο Hilbert το διάσημο σύνθημά του, ο Kurt Gödel, παρουσίασε για πρώτη φορά μία έκφραση του πρώτου θεωρήματος μη πληρότητάς του, στην “Διάσκεψη στην επιστημολογία” (Conference on Epistemology) που διεξαγόταν επίσης στην ίδια πόλη. Η πιο αποδεκτή έκφρασή του, σύμφωνα με το βιβλίο του Kleene* είναι η εξής: « Κάθε αποτελεσματικά παραγόμενη θεωρία, ικανή να εκφράσει στοιχειώδης αριθμητική, δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα συνεπής και πλήρης. Συγκεκριμένα, για κάθε συνεπή, αποτελεσματικά παραγόμενη “formal theory” (δηλαδή μία θεωρία βασισμένη σε αξιώματα, μία τυπική θεωρία) που αποδεικνύει συγκεκριμένες, βασικές αριθμητικές αλήθειες, υπάρχει μία αριθμητική πρόταση, που είναι αληθής, αλλά είναι αδύνατο να αποδείξουμε ότι ισχύει στη θεωρία μας.» Η τελευταία πρόταση, είναι ισοδύναμη με το γεγονός ότι η πρόταση αυτή είναι ανεξάρτητη των αξιωμάτων που επιλέξαμε προκειμένου να φτιάξουμε τη θεωρία που μελετάμε. Στο επόμενο τεύχος, θα υπάρχει ξεχωριστό άρθρο για την ιστορία της λογικής και γενικότερα της θεωρίας του Gödel καθώς και περισσότερες λεπτομέρειες, προκειμένου να κατανοήσετε καλύτερα τον τρόπο σκέψης απόδειξης των θεωρημάτων του. Σε αυτό το άρθρο και στο επόμενο που θα είναι συνέχειά του, θα αναφερθώ κυρίως στο αντίκτυπο που είχε η φορμαλιστική θεωρία του Hilbert και η θεωρία λογικής του Gödel στη γεωμετρία.
Το γεγονός ότι θεωρίες, χωρίς κάποια από τα αξιώματά τους είναι ελλιπείς, είχε αναγνωριστεί πολύ πιο νωρίς από τους Hilbert και Gödel, αφού μελετώντας την ευκλείδεια γεωμετρία, ανακαλύφθηκε, ότι χωρίς το 5ο αξίωμα, η θεωρία είναι ελλιπής. Ο Lobachevsky, ήταν ο πρώτος που αμφισβήτησε την αξιωματική θεωρία του Ευκλείδη και ενώ οι υπόλοιποι μαθηματικοί της εποχής του προσπαθούσαν να εξάγουν το αξίωμα των παραλλήλων από τα υπόλοιπα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, αυτός διαφοροποίησε το αξίωμα, εκφράζοντάς το ως « Από ένα σημείο εκτός μιας ευθείας διέρχονται πάνω από μία ευθείες που είναι παράλληλες ως προς αυτή». Μπορείτε να παρατηρήσετε και εσείς όπως, ανέφερα και στο προηγούμενο άρθρο, ότι η δημιουργία, ή η αλλαγή των αξιωμάτων μιας θεωρίας, μοιάζει πολύ με τη δημιουργία κανόνων σε ένα παιχνίδι, σύμφωνα με αυτούς ‘παίζουμε’ προκειμένου να δημιουργήσουμε τα αποτελέσματα που θέλουμε, περιγράφοντας κάθε φορά που αλλάζουν οι ‘κανόνες’ και έναν διαφορετικό ‘κόσμο’. Η σκέψη αυτή του Lobachevsky ήταν επαναστατική, αφού δημιούργησε την υπερβολική γεωμετρία ή τη γεωμετρία του Lobachevsky, έχοντας ως πρώτη αναφορά σε αυτή το 1826. Παρόλα αυτά ο πρώτος που ασχολήθηκε με τη συνέπεια της υπερβολικής γεωμετρίας, ήταν ο Beltrami, ο οποίος το 1868 δημοσίευσε διάφορα μοντέλα μη ευκλείδειας γεωμετρίας και μέσω του μοντέλου Beltrami-Klein απέδειξε την ανεξαρτησία του αξιώματος των παραλλήλων στην ευκλείδεια γεωμετρία, ενώ έδειξε επίσης ότι η ευκλείδεια γεωμετρία ν-διαστάσεων ‘γίνεται αντιληπτή’ σε μία ‘οριόσφαιρα’ του υπερβολικού χώρου ν+1 διαστάσεων και άρα η λογική σχέση μεταξύ της ευκλείδειας και των μη ευκλείδειων γεωμετριών είναι συμμετρικές. Αυτό σημαίνει ότι αν η ευκλείδεια γεωμετρία είναι συνεπής, το ίδιο ισχύει και για τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Εδώ θα πρέπει να αναφέρω ότι κατά τη ‘δημιουργία’ μίας νέας θεωρίας, μας ενδιαφέρει να τη δημιουργήσουμε ώστε να είναι συνεπής και κατ’επέκταση, όχι πλήρης. Δηλαδή, προτιμούμε να υπάρχουν προτάσεις που να μην μπορούν να αποδειχθούν (δηλαδή, προτάσεις που να αντικρούουν τις ίδιες τις προτάσεις) παρά να υπάρχουν προτάσεις που αντικρούονται μεταξύ τους. Οπότε, εφόσον η ευκλείδεια γεωμετρία είναι είναι συνεπής, το μόνο που μένει να αποδείξετε σε μία μη ευκλείδεια γεωμετρία είναι αν η πρόταση που έχετε είναι ανεξάρτητη ή όχι από τα αξιώματα που διέπουν τη γεωμετρία σας, πράγμα που συμβαίνει για κάθε θεωρία βασισμένη σε αξιώματα (ή ‘τυπική’ θεωρία).
Εξηγώντας τη σκέψη του Beltrami για τη συμμετρία μεταξύ των λογικών σχέσεων των ευκλείδειων και των μη ευκλείδειων γεωμετριών, θα πρέπει να δοθεί ο ορισμός της ‘οριόσφαιρας’. Η οριόσφαιρα, στα αγγλικά ‘horosphere’ (από το ‘όριο’ και τη ‘σφαίρα’) είναι το όριο μίας ακολουθίας ‘υπερ’-σφαιρών ν-διαστάσης, που έχουν ένα κοινό εφαπτόμενο υπερεπίπεδο και η ακτίνα τους αυξάνεται ανάλογα με το δείκτη τους. Στον διδιάστατο χώρο, η ‘οριόσφαιρα’ είναι ένας ‘οριόκυκλος’ δηλ. το όριο μίας ακολουθίας κύκλων που η ακτίνα τους αυξάνεται και έχουν ένα κοινό εφαπτόμενο σημείο. Ίσως θα παρατηρήσετε ότι αφού θα αυξάνεται η ακτίνα των κύκλων, όσο αυξάνεται ο δείκτης της ακολουθίας, για πολύ μεγάλους δείκτες, οι κύκλοι, θα τείνουν να γίνουν ευθείες. Ωστόσο, αυτό δεν ισχύει στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες κι συγκεκριμένα στην υπερβολική γεωμετρία, οι ευθείες ως όρια των κύκλων με άπειρη ακτίνα καμπυλώνουν. Αυτό που έκανε ο Beltrami λοιπόν, ήταν να δείξει ότι η ευκλείδεια γεωμετρία, υπάρχει μέσα στην υπερβολική (περιγράφεται δηλ. και μέσω της υπερβολικής γεωμετρίας), ότι η δεύτερη, δηλαδή είναι μία επέκτασή της, ή πιο σωστά, ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι μία ειδική περίπτωση της υπερβολικής.
Τέλος, θα ήθελα να παραθέσω μία ρήση του Einstein προς τον Heisenberg κατά τη διάρκεια μίας διάλεξής του στο Βερολίνο το 1926: « Το αν μπορείς να παρατηρήσεις ένα αντικείμενο ή όχι εξαρτάται από τη θεωρία που χρησιμοποιείς. Η θεωρία λοιπόν, είναι αυτή που αποφασίζει τι μπορεί να παρατηρηθεί.». Στο επόμενο τεύχος, θα συνεχίσουμε και θα τελειώσουμε με το έργο του Beltrami ενώ θα δούμε, διεξοδικότερα και τη θεωρία της υπερβολικής γεωμετρίας του Lobachevsky.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου